Question

【題目】已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是邊BC、DC的三等分點（如圖），
求證：
（1）對角線AC、BD是異面直線；
（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上．

Answer 1

【答案】
（1）證明：假設對角線AC、BD在同一平面α內，

則A、B、C、D都在平面α內，這與ABCD是空間四邊形矛盾，

∴AC、BD是異面直線．

（2）證明：∵E、H分別是AB、AD的中點，∴EH BD．

又F、G分別是BC、DC的三等分點，

∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．

∴FE與GH相交．

設交點為O，又O在GH上，GH在平面ADC內，∴O在平面ADC內．

同理，O在平面ABC內．

從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上．

【解析】（1）利用反證法證明對角線AC、BD是共面直線，推出矛盾，從而證明是異面直；（2）說明直線EF和HG必交于一點，然后證明這點在平面ADC內．又在平面ABC內，必在它們的交線AC上．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面的基本性質及推論(如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內;過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面;如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線)，還要掌握異面直線的判定(過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）)的相關知識才是答題的關鍵．