Question

設等比數列{a_n}的公比q≠1，S_n表示數列{a_n}的前n項的和，T_n表示數列{a_n}的前n項的乘積，T_n（k）表示{a_n}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N^*，k≤n），則當a₁=1，q=2，數列{

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

}的前n項的和是

2ⁿ-1

．

Answer 1

分析：令b_n=

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

，依題意，可求得b_n=2^n-1，利用等比數列的求和公式即可求得數列{

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

}的前n項的和．

解答：解：令b_n=

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

，
則b_n=

SnTn

Tn a1 + Tn a2 +…+ Tn an

=

Sn

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

，
∵等比數列{a_n}的公比q=2，首項a₁=1，
∴數列{a_n}的前n項的和S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；
又數列{

1

an

}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

2(2n-1)

2n

，
∴b_n=

Sn

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

=2^n-1．
∵

bn+1

bn

=

2n

2n-1

=2，b₁=1，
∴{b_n}是1為首項，2為公比的等比數列（即b_n=a_n），
∴b₁+b₂+…+b_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
故答案為：2ⁿ-1．

點評：本題考查數列的求和，求得b_n=2^n-1是關鍵，也是難點，考查分析與化簡、運算的能力，屬于中檔題．