Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， O為坐標原點，點P（1， ）在橢圓上，連接PF1交y軸于點Q，點Q滿足 = ．直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與橢圓C有兩個交點A，B． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點M（ ，0），若直線l過橢圓C的右焦點F2 ， 證明： 為定值；
（Ⅲ）若直線l過點（0，2），設N為橢圓C上一點，且滿足 + =λ ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 = ，則Q為PF1的中點，則PF1⊥F1F2 ， 則c=1， = ，a2=b2﹣c2 ，
解得：a= ，b=1，
∴橢圓的標準方程： ；

（Ⅱ）證明：由題意可知：設直線l的方程y=k（x﹣1），k≠1，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
∴ ，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
則x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2 ，
由 =（x1﹣ ，y1）， =（x2﹣ ，y2），
則 =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（1+k2）x1x2﹣（k2+ ）（x1+x2）+ +k2 ，
=（1+k2）× ﹣（k2+ ）× + +k2 ，
= + ，
=﹣ ，
∴ 為定值，定值為﹣ ；
（Ⅲ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），Q（x0 ， y0）．
當λ=0時，由 + =λ ， + = ，A與B關于原點對稱，存在Q滿足題意，
∴λ=0成立；
當λ≠0時，聯立 ，得（1+2k2）x2+8kx+6=0，
由△=（8k）2﹣4×6（1+2k2）＞0，解得k2＞ ，…（*），
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
y1+y2=k（x1+x2）+4= ．
由 + =λ ，得（x1+x2 ， y1+y2）=（λx0 ， λy0），可得x1+x2=λx0 ， y1+y2=λy0 ，
，由Q在橢圓 上，
代入，整理得4= （1+2k2），
代入（*）式，得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．
綜上可知：λ∈（﹣2，2）．
【解析】（Ⅰ）由題意可知：c=1， = ，a2=b2﹣c2 ， 即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）設直線AB的方程，代入橢圓方程，由韋達定理定理及向量數量積的坐標運算，即可求證 為定值；（Ⅲ）分類討論，設直線AB的方程，代入橢圓方程，由△＞0，求得k2＞ ，由韋達定理，向量數量積的坐標運算，即可求得4= （1+2k2），即可求得實數λ的取值范圍．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．