Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點(diǎn)．

證明：平面；

若點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，求二面角的余弦值；

判斷點(diǎn)M到平面的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）點(diǎn)到平面的距離為定值.

【解析】

（1）利用正方體的性質(zhì)得，由線面平行的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值，即可得解.（3）由（1）得點(diǎn)到平面的距離等于上任意一點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合（2）和點(diǎn)到面的距離公式得點(diǎn)到平面的距離即可.

（1）證明：因?yàn)樵谡�方體中，，平面，平面，平面

（2）在正方體中，，，兩兩互相垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，，，設(shè)向量，分別為平面和平面的法向量，由

取，則，，.

同理

取，則，，.

，

又二面角的平面角為銳角，

二面角的余弦值為

（3）由（1）知平面.點(diǎn)到平面的距離等于上任意一點(diǎn)到平面的距離，取點(diǎn)為，結(jié)和（2）和點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離定值為