Question

如圖，在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O為AC與BD的交點，G為CC₁的中點.求證：A₁O⊥平面GBD.

Answer 1

證明：設=a，=b，=c，則a·b=0,b·c=0,a·c=0,而=+=??+(+)=c+(a+b),

=-=b-a,?

=+=(+)+CC₁=(a+b)-c.?

∴·=(c+a+b)·(b-a)

=c(b-a)+(a+b)·(b-a)?

=c·b-c·a+(b²-a²)?

=［|b|²-|a|²］=0，?

·=(c+a+b)·(a+b-c)?

=(a+b)²+c(a+b)-c²

=(a²+b²)-c²

=［|a|²+|b|²］-|c|²=0.

∴A₁O⊥BD,A₁O⊥OG.

又∵BD∩OG=O,∴A₁O⊥平面BDG.