Question

對于實(shí)數(shù)x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數(shù)”的實(shí)數(shù)y稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，用記號{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{

8

7

}=

1

7

．對于實(shí)數(shù)a，無窮數(shù)列{a_n}滿足如下條件：a₁={a}，an+1=

1 an   ，an≠0 0， an=0

  其中n=1，2，3，…．
（1）若a=

2

，求a₂，a₃ 并猜想數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式（不需要證明）；
（2）當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，對任意的n∈N^*，都有a_n=a，求符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A；
（3）若a是有理數(shù)，設(shè)a=

p

q

 （p是整數(shù)，q是正整數(shù)，p，q互質(zhì)），對于大于q的任意正整數(shù)n，是否都有a_n=0成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知a₁={

2

}=

2

-1，a₂={

1

a1

}={

1

2 -1

}={

2

+1}={

2

}=

2

-1，從而可猜想數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)

1

2

＜a＜1，即1＜

1

a

＜2時(shí)，可求得a=

-1+ 5

2

，由此進(jìn)行分類討論，能求出符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A；
（3）成立．證明：由a是有理數(shù)，可知對一切正整數(shù)n，a_n為0或正有理數(shù)，可設(shè)a_n=

pn

qn

，由此利用分類討論思想能夠推導(dǎo)出數(shù)列{a_m}中a_m以及它之后的項(xiàng)均為0，所以對于大于q的自然數(shù)n，都有a_n=0．

解答：解：（1）∵a₁={

2

}=

2

-1，
a₂={

1

a1

}={

1

2 -1

}={

2

+1}={

2

}=

2

-1，
同理可求a₃=

2

-1，
于是猜想：a_n=

2

-1．
（2）當(dāng)

1

2

＜a＜1，即1＜

1

a

＜2時(shí)，a₂={

1

a1

}={

1

a

}=

1

a

-1=a，
∴a²+a-1=0，
解得a=

-1+ 5

2

或a=

-1- 5

2

（舍去）；
當(dāng)

1

3

＜a≤

1

2

，即2≤

1

a

＜3時(shí)，a₂={

1

a1

}={

1

a

}=

1

a

-2=a，
∴a²+2a-1=0，
解得a=

-2+ 8

2

=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）；
當(dāng)

1

4

＜a≤

1

3

，即3≤

1

a

＜4時(shí)，a₂={

1

a1

}={

1

a

}=

1

a

-3=a，
∴a²+3a-1=0，
解得a=

-3+ 13

2

或a=

-3- 13

2

（舍去）．
綜上所述，符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A={

-1+ 5

2

，

2

-1，

-3+ 13

2

}．
（3）由a是有理數(shù)可知，對一切正整數(shù)n，a_n為0或正有理數(shù)．
設(shè)a_n=

pn

qn

（p_n是非負(fù)整數(shù)，q_n是正整數(shù)且

pn

qn

既約）．
①由a₁={

p

q

}=

p1

q1

得：0≤p₁≤q；
②若p_n≠0，設(shè)q_n=αp_n+β（0≤β＜p_n，α，β為非負(fù)整數(shù)），
則

qn

pn

=α+

β

pn

，而由a_n=

pn

qn

，得

1

an

=

qn

pn

，
∴a_n+1={

1

an

}=

β

pn

，
∴p_n+1=β，q_n+1=p_n，
∴0≤p_n+1＜p_n．
若p_n=0，則p_n+1=0，
若a₁、a₂、a₃、…、a_q均不為0，則這q個(gè)正整數(shù)互不相同且都小于q，但小于q的正整數(shù)共有q-1個(gè)，矛盾．
故a₁、a₂、a₃、…、a_q中至少有一個(gè)為0，即存在m（1≤m≤q）使得a_m=0．
從而{a_m}中a_m及以后的項(xiàng)均為0，所以對大于q的任意正整數(shù)n，都有a_n=0成立，

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推，考查集合的求法，考查a_n=0是否成立的判斷與證明．綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，難度較高，對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．