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設x₁、x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（ x₁+x₂）²-（ x₁-x₂）²，若x≥0，則動點P（x，

）的軌跡是（）
A．圓
B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分
D．拋物線的一部分

【答案】分析：設P（x₁，y₁），欲求出動點P的軌跡方程，只須求出x，y的關系式即可，結合新定義運算，即可求得動點P（x，

）的軌跡方程，從而得出其軌跡．
解答：解：∵x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，
∴

．
則P（x，2

）．設P（x₁，y₁），
即

消去x得y₁²=4ax₁（x₁≥0，y₁≥0）．
故點P的軌跡為拋物線的一部分．
故選D．
點評：本題考查軌跡方程，利用的是直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x₁、x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（ x₁+x₂）²-（ x₁-x₂）²，若x≥0，則動點P（x，

x*a

）的軌跡是（　　）

A、圓

B、橢圓的一部分

C、雙曲線的一部分

D、拋物線的一部分

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x₁、x₂∈R，常數a＞0，定義運算“⊕”：x₁⊕x₂=（x₁+x₂）²，定義運算“?”：x₁?x₂=（x₁-x₂）²；對于兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定義d(AB)=

y1?y2

．
（1）若x≥0，求動點P（x，

(x⊕a)-(x?a)

）的軌跡C；
（2）已知直線l1 ： y=

x+1與（1）中軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，若

(x1?x2)+(y1?y2)

，試求a的值；
（3）在（2）中條件下，若直線l₂不過原點且與y軸交于點S，與x軸交于點T，并且與（1）中軌跡C交于不同的兩點P、Q，試求

|d(ST)|

|d(SP)|

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x₁，x₂∈R，常數a＞0，定義運算“⊕”，x1⊕x2=(x1+x2)2，定義運算“?”，x1?x2=(x1-x2)2．現有x≥0，則動點P(x，

(x⊕a)-(x?a)

)的軌跡方程是

y²=4ax（y≥0）

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x₁，x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求動點P(x，

x*a

)的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求

的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x₁，x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求動點P(x，

x*a

)的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求

的取值范圍；
（3）設P（x，y）是平面上的任意一點，定義d1(P)=

(x*x)+(y*y)

，d2(P)=

(x-a)*(x-a)

．若在（1）中的軌跡C存在不同的兩點A₁，A₂，使得d₁（A_i）=

d2(Ai)(i=1，2)成立，求實數a的取值范圍．

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