Question

【題目】已知數列，滿足，數列前項和為.

（1）若數列是首項為正數，公比為的等比數列.

①求證：數列為等比數列；

②若對任意恒成立，求的值；

（2）已知為遞增數列，即.若對任意，數列中都存在一項使得，求證：數列為等差數列.

Answer 1

【答案】(1) ①證明見解析；②.

(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）①由題意得，又得，故可得結論成立．②由題意可得對任意恒成立，結合反證法可得．（2）根據可得，再根據數列的單調性可得，故得，從而可證得，所以數列為等差數列．

詳解：（1）①∵數列是公比為的等比數列，

∴．

又為定值，

∴數列為等比數列．

②由題意得，即 ，

整理得對任意恒成立，

∵，

∴.

否則若，，則當時，，與題意矛盾.

故．

（2）因為數列中都存在一項使得，

即．

又數列為遞增數列，

所以，

所以，

因此，

所以數列為等差數列．