Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點弦AB的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k_OA•k_OB=

-4

．

Answer 1

分析：由于k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

，弦AB斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，由A、F、B三點共線，知k=

y1-0

x1- p 2

，所以

y1

x1- p 2

=

2p

y1+y2

，解得y₁y₂=-p²．由x1x2=

y12

2p

×

y22

2p

=

(y1y2)2

4p2

=

p2

4

，由此能求出

y1 y2

x1x2

的值．

解答：解：弦AB斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，①
∵A、F、B三點共線，
∴k=

y1-0

x1- p 2

，②
由①，②得

y1

x1- p 2

=

2p

y1+y2

，
∴y₁y₂+y₁²=2px₁-p²，
∵y₁²=2px₁，∴y₁y₂=-p²，③
∵x1x2=

y12

2p

×

y22

2p

=

(y1y2)2

4p2

=

(-p2)2

4p2

=

p2

4

，④
因此，由④÷③得

y1 y2

x1x2

=

-p2

p2 4

=-4．
∴k_OA•k_OB=

y1 y2

x1x2

=-4．
故答案為：-4．

點評：本題主要考查直線的斜率公式、拋物線的簡單性質．考查基礎知識的靈活應用，屬于基礎題．