Question

過(guò)直線y=x上的一點(diǎn)作圓x²+（y-4）²=2的兩條切線l₁，l₂，當(dāng)l₁與l₂關(guān)于y=x對(duì)稱時(shí)，l₁與l₂的夾角為

60°

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，由過(guò)直線y=x上點(diǎn)A作圓B的兩條切線關(guān)于y=x對(duì)稱，得到BA與y=x垂直，且∠BAD=∠BAC，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠BCA為直角，然后利用點(diǎn)直線的距離公式求出圓心B到直線y=x的距離即為|AB|，而|BC|為圓的半徑長(zhǎng)，根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對(duì)的角為30°，得到∠BAD=∠BAC=30°，進(jìn)而求出∠CAD的度數(shù)，即為兩切線的夾角．

解答：解：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
由圓的方程得到圓心B（0，4），圓的半徑r=|BC|=|BD|=

2

，
根據(jù)兩條切線關(guān)于y=x對(duì)稱，得到BA⊥直線y=x，
所以|BA|=

|0-4|

2

=2

2

，
又直線AC和直線AD都為圓B的切線，切點(diǎn)分別為C和D，
所以BC⊥AC，BD⊥AD，即∠BCA=∠BDA=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，BC=BD=

2

，AB=2

2

，
所以∠BAD=∠BAC=30°，
則∠CAD=60°，即兩切線的夾角為60°．
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式．要求學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，借助圖形，充分利用對(duì)稱性質(zhì)來(lái)解決問題．