Question

【題目】已知函數(a，bR)．

（1）當a＝b＝1時，求的單調增區間；

（2）當a≠0時，若函數恰有兩個不同的零點，求的值；

（3）當a＝0時，若的解集為(m，n)，且(m，n)中有且僅有一個整數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的單調增區間是和

（2）

（3）

【解析】

（1）當a＝b＝1時，求得函數的導數，即可求解函數的單調區間；

（2）法一：求得，令，得或，由函數f（x）有兩個不同的零點，求得的方程，即可求解；

法二：由得，，設，利用導數求得函數的單調區間和極值，進而可得函數的零點。

（3）當時，可得，設，利用導數得到函數的單調區間和極值，轉化為要使有解，和的解集（m,n）中只有一個整數，分別列出不等式組，即可求解。

（1）當a＝b＝1時，，

令，解得或

所以f（x）的單調增區間是和

（2）法一：，令，得或，

因為函數f（x）有兩個不同的零點，所以或，

當時，得a＝0，不合題意，舍去：

當時，代入得

即，所以.

法二：由于，所以，

由得，，

設，令，得，

當時，，h(x)遞減：當時，,遞增

當時，，單調遞增

當時, 的值域為R

故不論取何值，方程有且僅有一個根；

當時，，

所以時，方程恰有一個根－2，

此時函數恰有兩個零點-2和1．

（3）當時，因為，所以

設，則，

當時，因為，所以在上遞增，且，

所以在上，，不合題意：

當時，令，得，

所以在遞增，在遞減，

所以，

要使有解，首先要滿足，解得. ①

又因為，，

要使的解集（m,n）中只有一個整數，則

即解得. ②

設,則,

當時，,遞增：當時，,遞減

所以,所以,

所以由①和②得，.