Question

請考生在（1）（2）中任選一題作答，每小題12分．如都做，按所做的第（1）題計分．
（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B，與AC交于點D，連接B、D，若BC=，求AC的長．
（2）已知雙曲線C：x²-y²=2，以雙曲線的左焦點F為極點，射線FO（O為坐標原點）為極軸，點M為雙曲線上任意一點，其極坐標是（ρ，θ），試根據雙曲線的定義求出ρ與θ的關系式（將ρ用θ表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可得，由切割線定理知BC²=CD•CA，解方程求得AC的長．
（2）由雙曲線的方程知：，分M在雙曲線的左支上和M在雙曲線的右支上兩種情況，利用雙曲線的定義求得ρ與θ的關系式．
解答：解：（1）如圖，由∠C=72°，AB=AC知，∠ABC=72°，∠BAC=36°．
由弦切角定理知∠DBC=36°，…（4分）
又∠C=72°得∠BDC=72°，∴∠ABD=72°-36=36，故，…（8分）
由切割線定理知BC²=CD•CA，即，
解得：AC=2或（舍），所以AC的長為2．…（12分）
（2）由雙曲線的方程知：，結合圖形，
當M在雙曲線的左支上時，
由雙曲線的定義得，即，所以．（6分）
當M在雙曲線的右支上時，
由雙曲線的定義得，即，所以．（12）分
點評：本題主要考查與圓相關的比例線段，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，雙曲線的簡單性質的應用，屬于中檔題．