Question

【題目】在正三角形中, 分別是邊上的點,滿足 (如圖),將沿折起到的位置,使二面角成直二面角,連接 (如圖).

（1） 求證: 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小；

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）

【解析】試題分析：

(1) 利用折疊前后的關系和線面垂直的判斷定理可得平面；

(2)建立空間直角坐標系，結合平面角的法向量可得二面角的余弦值的大小為

試題解析：

不妨設正三角形的邊長為，

（1）在圖中，取的中點，連接.

,

而是正三角形，

又

在圖中， ,

為二面角的平面角，

由題設條件知此二面角為直二面角，

,又,

平面，即平面

（2） 由 （1） 知，即平面

以為原點，以分別為軸建立如圖所示的坐標系如圖，

則

設分別是平面和平面的法向量，

由，得.

取，得.

由,得，取，得

所以

因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為