Question

已知向量

m

=(1，-2)與

n

=(1，λ)．
（Ⅰ）若

n

在

m

方向上的投影為

5

，求λ的值；
（Ⅱ）命題P：向量

m

與

n

的夾角為銳角；命題q：關于x的方程

a

•

b

=0有實數解，其中向量

a

=(x-2，1)

b

=(x，λ2)(λ∈R)．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積公式和模的公式，可得

n

•

m

=1-2λ，

|m

|=

1 2+(-2) 2

=

5

，再結合已知條件可列出關于λ的等式，解之即得實數λ的值；
（2）由“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，可得命題p、q當中有且只有一個真命題．然后分別求出p、q為真命題時，λ的取值范圍．最后分別求出“p真q假”和“p假q真”時，λ的取值范圍，再求出兩種情況的并集，即可得到λ的取值范圍．

解答：解：（1）由已知條件，得

n • m

| m |

=

5

，而

n

•

m

=1-2λ，

|m

|=

1 2+(-2) 2

=

5

∴

1-2λ

5

=

5

，得1-2λ=5，解之得λ=-2…（4分）
（2）∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴命題p、q當中有且只有一個真命題．
1°若P為真，則

m

•

n

＞0且

1

1

≠

λ

-2

即1-2λ＞0且λ≠-2，得λ＜

1

2

且λ≠-2．
2°若q為真，則

a

•

b

=0有實數解，即（x-2，1）•（x，λ²）=0有實數解
∴x²-2x+λ²=0有實數解，可得△≥0
∴4-4λ²≥0，解之得-1≤λ≤1…（8分）
接下來分兩種情況分析p、q的真假情況
①當p真q假時，

λ＜ 1 2 且λ≠-2 λ＜-1或λ＞1

∴λ＜-1且λ≠-2…（7分）
②當p假q真時，

λ≥ 1 2 或λ=-2 -1≤λ≤1

∴

1

2

≤λ≤1
綜上所述，可得λ∈（-∞，-2）∪（-2，-1）∪[

1

2

，1]

點評：本題以命題真假的判斷為載體，通過求參數λ的取值范圍，著重考查了向量的數量積、向量的投影和一元二次方程根的判別式等知識點，屬于基礎題．