Question

(本小題滿(mǎn)分12分)
己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，，，又知

(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)C到平面的距離；
(3)求二面角余弦值的大�。�

Answer 1

（1）略（2）（3）

解法一
（1）得，因?yàn)?sub>底，所以，
，所以面，所以   ……3分
因?yàn)?sub>，，所以底 ……1分

（2）由（1）得，所以是菱形，……1分
所以，，……1分
由，得  ……2分
（3）設(shè)，作于，連，由（1）所以，所以為二面角平面角，……2分
在中，所以，所以二面角余弦   ……2分
解法二

（1）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?sub>，所以，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，      ……1分
，，，    ……1分
由，知，             ……1分
又，從而平面；    ……1分
（2）由，得    ……1分
設(shè)平面的法向量為，，，所以
，設(shè)，則    ……2分
所以點(diǎn)到平面的距離    ……1分
（3）再設(shè)平面的法向量為，，，……1分
所以，設(shè)，則，              ……2分
故，根據(jù)法向量的方向可知二面角的余弦值大小為  ……1分