Question

已知函數f（x）=ax²-2

4+2b-b2

x，g（x）=-

1-(x-a)2

（a，b∈R）
（1）當b=0時，若f（x）在（-∞，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數對（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）當b=0時，f（x）=ax²-4x，討論a的取值并結合二次函數的單調性，建立關于實數a的不等式即可解出實數a的取值范圍；
（2）當a=0時，易得一次函數f（x）沒有最大值，不符合題意．因此（x）為二次函數，可得a＜0，函數f（x）取最大值時對應的x=

4+2b-b2

a

，結合題意得到

4+2b-b2

a

=a是一個整數，化簡得a²=

5-(b-1)2

，即可得出滿足條件的整數只有a=-1，從而得到b=-1或3，得到滿足條件的所有整數對（a，b）．

解答：解：（1）當b=0，時，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，則f（x）在[2，+∞）上單調遞減，不符題意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上單調遞增，必須滿足

a＞0 2 a ≥2

，解之得0＜a≤1
即實數a的取值范圍是（0，1]；
（2）若a=0，f（x）=2

4+2b-b2

x，可得f（x）無最大值，故a≠0，
∴f（x）為二次函數，
要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
此時，x=x₀=

4+2b-b2

a

時，f（x）有最大值．
又∵g（x）取最小值時，x=x₀=a，
依題意，

4+2b-b2

a

=a∈Z，可得a²=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

，結合a為整數得a=-1，此時b=-1或b=3．
綜上所述，滿足條件的實數對（a，b）是：（-1，-1），（-1，3）．

點評：本題給出含有根號和字母參數的二次函數，討論函數的單調性與值域．著重考查了二次函數的圖象與性質、方程整數解的討論等知識，屬于中檔題．