Question

已知四棱錐，面,∥,,，,,為上一點,是平面與的交點.

（1）求證：∥；
（2）求證：面；
（3）求與面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）、（2）證明詳見解析；（3）．

試題分析：（1）首先根據∥，可證明∥面，再利用線面平行的關系可證明∥；（2）考慮通過證明與（已知），而證明可通過證明面來證明；（3）考慮以DA，DC，DP為坐標建立空間直角坐標，通過求直線PC的方向向量與平面EFCD的法向量的夾角來處理．
試題解析：（1）∥ ,面,面，∴∥面，
又∵面面，
∴∥，∴∥．
（2）∵面，∴．
又，∴面，
∵面,∴．
又∵，∴面 ．
（3）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
,
設由且∥可得
，解得，∴．
設為平面的一個法向量則有
，令，，∴ ，

∴與面所成角的正弦值為 .