Question

設集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N^*},B={(x,y)|y=ax²-ax+a,x∈N^*}，問是否存在非零整數a,使A∩B≠？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

存在a=1,使得A∩B≠,此時A∩B={（1，1），（2，3）}.

假設A∩B≠，則方程組有正整數解，消去y,
得ax²-(a+2)x+a+1="0.                 "                              （*）
由Δ≥0，有（a+2）²-4a(a+1)≥0,解得-.因a為非零整數，∴a=±1，
當a=-1時，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N^*.故a≠-1.當a=1時，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合題意.故存在a=1,使得A∩B≠,此時A∩B={（1，1），（2，3）}.