Question

（2013•四川）已知函數f(x)=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是實數．設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，證明：x₂-x₁≥1；
（Ⅲ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據分段函數中兩段解析式，結合二次函數及對數函數的性質，即可得出函數f（x）的單調區間；
（II）由導數的幾何意義知，點A處的切線的斜率為f′（x₁），點B處的切線的斜率為f′（x₂），再利用f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，斜率之積等于-1，得出（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，最后利用基本不等式即可證得x₂-x₁≥1；
（III）先根據導數的幾何意義寫出函數f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出關系式，從而得出a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1，最后利用導數研究它的單調性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答：解：（I）函數f（x）的單調減區間（-∞，-1），函數f（x）的單調增區間[-1，0），（0，+∞）；
（II）由導數的幾何意義知，點A處的切線的斜率為f′（x₁），點B處的切線的斜率為f′（x₂），
函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，有f′（x₁）f′（x₂）=-1，
當x＜0時，（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，
∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，有x₂-x₁≥1；
（III）當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為y-（x 12+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；
兩直線重合的充要條件是

1 x2 =2x1+2   ① lnx2-1=- x 2 1 +a   ②

，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，
令t=

1

x2

，則0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，設h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）
則h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）為減函數，
則h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，a的取值范圍（-ln2-1，+∞）．

點評：本題以函數為載體，考查分段函數的解析式，考查函數的單調性，考查直線的位置關系的處理，注意利用導數求函數的最值．