Question

【題目】已知函數為自然對數的底數）.

⑴當時，求曲線在點，處的切線方程；

⑵討論的單調性；

⑶當時，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）當時，，利用導數的幾何意義求得切線方程；

（2）對函數進行求導得，對分和兩種情況進行分類討論，研究導數值的正負，從而得到函數的單調區間；

（3）證明不等式成立等價于證明成立，再構造函數進行證明.

（1）當時，.

所以，

所以，又.

所以曲線在點處的切線方程為，

即.

（2）易得（）.

①當時，，此時在上單調遞增；

②當時，令，得.

則當時，，此時在上單調遞增；

當時，，此時在上單調遞減.

綜上所述，當時，函數在區間上單調遞增；

當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（3）由（2）知，當時，在處取得最大值，

即

，

則等價于，即，

即.（※）

令，則.不妨設（），

所以（）.

從而，當時，；當時，，

所以函數在區間上單調遞增；在區間上單調遞減.

故當時.

所以當時，總有.

即當時，不等式（※）總成立，

故當時，成立.