Question

（本小題滿分14分）
已知向量, 向量, 且, 動點的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程;  
（2）證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B, 且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;

Answer 1

（1）軌跡E的方程為：。
（2）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A, B,
且.                 

解:（1）因為,, ,
所以,   所以，軌跡E的方程為：. …………… 4分
(2).設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,                              …………………… 6分
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,
則使△=,
即,即,    且
,
要使,  需使,即,
所以, 即且, 即
即，恒成立.                                      …………………… 10分
又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A, B,
且.