Question

（2012•黃州區模擬）如圖，已知點D（0，-2），過點D作拋物線C₁：x²=2py（p∈[1，4]的切線l，切點A在第二象限．
（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為

3

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c）恰好經過A點，設切線l交橢圓的另一點為B，若設切線l，直線OA，OB的斜率為k，k₁，k₂，①試用斜率k表示k₁+k₂②當k₁+k₂取得最大值時求此時橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設切點A的坐標，得切線的方程，根據點D（0，-2）在l上，從而可求切點A的縱坐標；
（2）先根據e=

3

2

及A（-2

p

，2），化簡橢圓方程，設直線AB方程橢圓的方程，消去y，利用韋達定理可求斜率，利用函數的單調性，可求最值，從而可得橢圓的方程．

解答：解：（1）設切點A（x₀，y₀），依題意則有y₀=

x02

2p

，
由切線l的斜率為k=

x0

p

，得l的方程為y=

x0

p

x-

x02

2p

，
又點D（0，-2）在l上，
∴

x02

2p

=2，即點A的縱坐標y₀=2；
（2）依題意可設直線AB方程為：y=kx-2=-

2

p

x-2；
由e=

3

2

得

x2

4b2

+

y2

b2

=1
由（1）可得A（-2

p

，2），將A代入

x2

4b2

+

y2

b2

=1可得b=

p+4

，故橢圓的方程可簡化為

x2

4p+16

+

y2

p+4

=1；
聯立直線AB與橢圓的方程，消去y得：（4k⁴+k²）x²-16k³x-16=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

16k

4k2+1

，x₁x₂=

-16

4k4+k2

①k₁+k₂=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=2k-2×

x1+x2

x1x2

=2k+2k³；
②∵k=

-2

p

(p∈[1，4]），∴k∈[-2，-1]，
∵f（k）=2k+2k³在[-2，-1]上為單調遞增函數，故當k=-1時，k₁+k₂取到最大值，此時P=4，
故橢圓的方程為

x2

32

+

y2

8

=1．

點評：本題主要考查拋物線的切線方程，考查直線與橢圓的位置關系及利用函數的單調性求最值，屬于中檔題．