Question

【題目】已知函數 ，數列{an}滿足 ．
（1）求證：數列{ }是等差數列；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 ， 求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵函數 ，數列{an}滿足 ，

∴ ，

∴ =3+ ，

∴ =3， =1，

∴數列{ }是首項為1，公差為3的等差數列

（2）解：∵數列{ }是首項為1，公差為3的等差數列，

∴ =1+（n﹣1）×3=3n﹣2，

∴an= ．

（3）解：∵anan+1= = （ ），

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

= （1﹣ + + +…+ ）

=

= ．

【解析】（1）由已知利用函數性質得 ，從而 =3+ ，由此能證明數列{ }是首項為1，公差為3的等差數列．（2）由 =1+（n﹣1）×3=3n﹣2，能求出an ． （3）anan+1= = （ ），利用裂項求和法能求出Sn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．