Question

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{a_n}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數列{a_n}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

Answer 1

解：（1）依條件得：，
∴無窮等比子數列{a_3k-1}的首項為a₂=，公比為，
則無窮等比數列{a_3k-1}各項的和為：；
（2）設此子數列的首項為a₁，公比為q，由條件得：，
則，即 ，
∴
而 ，
則 ，
所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項、公比均為，
其通項公式為，n∈N^*；
（3）問題：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由．
解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和之積為1．設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，則，
因為等式左邊或為偶數，或為一個分數，而等式右邊為兩個奇數的乘積，還是一個奇數．
故等式不可能成立，即假設錯誤，
所以這樣的兩個子數列不存在．
分析：（1）由已知無窮等比數列{a_n}的首項與公比，得到無窮等比子數列{a_3k-1}的通項公式，得到無窮等比子數列{a_3k-1}的首項與公比，即可求出無窮等比子數列{a_3k-1}各項的和；
（2）存在，理由為：設出子數列的首項與公比，根據題意得到q的范圍為，進而求出1-q的范圍，得到的范圍，令各項的和等于，表示出首項a₁，根據1-q的范圍，求出a₁的范圍，而根據題意得a₁=（m為正整數），可得a₁及q的值，故滿足題意的無窮子數列存在且唯一，根據求出的a₁和q的值，寫出其通項公式即可；
（3）根據題意設計問題為：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由．不存在，理由是：分別設出這兩個子數列的首項、公比分別為和，分別表示出各項的和，根據乘積為1，得到關系式，化簡后，根據m，n，a，b為正整數，得到左邊可能為偶數或分數，而右邊只能為奇數，故等式不可能成立，則這樣的兩個子數列不存在．
點評：此題考查了等差數列的性質，等差數列的通項公式，以及無窮數列的各項和公式，同時本題屬于新定義及結論探索性問題，這類試題的一般解法是：充分抓住已知條件，找準問題的突破點，由淺入深，多角度、多側面探尋，聯系符合題設的有關知識，合理組合發現新結論，圍繞所探究的結論環環相扣，步步逼近發現規律，得出結論．熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．