Question

已知數列a_n的前n項和為S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）求數列a_n的通項公式；
（II）設Tn=

a1+1

22

+

a2+1

23

+…+

an+1

2n+1

，求T_n的值．

Answer 1

分析：（I）由na_n=S_n+2n（n-1）結合通項和前n項和的關系，轉化為a_n+1-a_n=4（n≥2）再由等差數列的定義求解，要注意分類討論．
（II）由（I）求得 a_n代入整理得

an+1

2n+1

=

4n-3+1

2n+1

=

2n-1

2n

是一個等差數列與等比數列對應項積的形式，用錯位相減法求其前n項和．

解答：解：（I）因為S_n=na_n-2（n-1）n，
所以當n≥2時，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-2）（n-1）．a_n=S_n-S_n-1=na_n-2（n-1）n-（n-1）a_n-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即a_n-a_n-1=4（4分）
所以數列a_n是首項a₁=1，公差d=4的等差數列，且a_n=1+（n-1）4=4n-3（n∈N^*）．（6分）
（II）因為

an+1

2n+1

=

4n-3+1

2n+1

=

2n-1

2n

，
所以Tn=

a1+1

22

+

a2+1

23

+…+

an+1

2n+1

=

1

2

+

3

22

+

5

23

++

2n-1

2n

．①（8分）

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

．②..（10分）
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
所以Tn=3-

2n+3

2n

（12分）

點評：本題主要考查數列的轉化與通項公式和求和方法，這里涉及了通項與前n項和之間的關系及錯位相減法，這是數列考查中常考常新的問題，要熟練掌握．