Question

側棱長為a的正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A．
B．2πa²
C．
D．3πa²

Answer 1

【答案】分析：側棱長為a的正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，說明三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，求出直徑，即可求出球的表面積．
解答：解：因為側棱長為a的正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，正方體的對角線長為：；
所以球的表面積為：4π=3πa²
故選D
點評：本題是基礎題，考查三棱錐的外接球的表面積的求法，三棱錐擴展為正方體是本題的關鍵，正方體的對角線是外接球的直徑也不容忽視，考查計算能力．