Question

在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+y²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直線l過點A（4，-1），且被圓C₁截得的弦長為2

3

，求直線l的方程；
（2）是否存在一個定點P，使過P點有無數條直線l與圓C₁和圓C₂都相交，且l被兩圓截得的弦長相等，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為y=k（x-4）-1，再利用圓C₁的圓心到l的距離、半徑、弦長的一半構成的直角三角形求解即可；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設假設存在，設點P的坐標為P（a，b），再利用圓心C₁和圓心C₂到l的距離相等，求出a，b的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）由于直線x=4與圓C₁不相交，所以直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y=k（x-4）-1，圓C₁的圓心到l的距離為d，所以d=1．
由點到直線l的距離公式得d=

|7k+1|

1+k2

，從而k（24k+7）=0
所以k=0或k=-

7

24

，所以直線l的方程為y=-1或7x+24y-4=0．
（2）假設存在，設點P的坐標為P（a，b），l的方程為y-b=k（x-a），因為圓C₁和圓C₂的半徑相等，被l截得的弦長也相等，所以圓C₁和圓C₂的半徑相等，到l的距離相等，即

|-3k+b-ak|

1+k2

=

|4k-4+b-ak|

1+k2

，整理得：（14a-7）k2-（8a+14b-32）k+8b-16=0，因為k的個數有無數多個，所以

14a-7=0 8a+14b-32=0 8b-16=0

解得

a= 1 2 b=2

綜上所述，存在滿足條件的定點P，且點P的坐標為P(

1

2

，2)．
注：用平面幾何知識可能更簡單．

點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、絕對值方程式的解法、到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．