Question

【題目】已知函數f（x）=|x2﹣1|﹣2a+3，下列五個結論：
①當 時，函數f（x）沒有零點；
②當 時，函數f（x）有兩個零點；
③當 時，函數f（x）有四個零點；
④當a=2時，函數f（x）有三個零點；
⑤當a＞2時，函數f（x）有兩個零點．
其中正確的結論的序號是 ． （填上所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③④⑤
【解析】解：∵f（x）=|x2﹣1|﹣2a+3，∴由f（x）=0，得|x2﹣1|=2a﹣3，
①當 時，∵2a﹣3＜0，|x2﹣1|≥0，
∴|x2﹣1|=2a﹣3無解，
∴當 時，函數f（x）沒有零點，故①正確；
②當a= 時，2a﹣3=0，|x2﹣1|≥0，
∴由|x2﹣1|=2a﹣3，得|x2﹣1|=0，解得x=±1，
∴當 時，函數f（x）有兩個零點，故②正確；
③當 時，0＜2a﹣3＜1，則|x2﹣1|=2a﹣3，
解得x=± ，或x=± ，
∴當 時，函數f（x）有四個零點，故③正確；
④當a=2時，2a﹣3=1，
由|x2﹣1|=2a﹣3，得|x2﹣1|=1，解得x=0，或x=± ．
∴當a=2時，函數f（x）有三個零點，故④正確；
⑤當a＞2時，2a﹣3＞1，則|x2﹣1|=2a﹣3，
解得x=± ．
∴當a＞2時，函數f（x）有兩個零點，故⑤正確．
所以答案是：①②③④⑤．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用和函數的零點的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．