Question

數列{a_n}(n∈N^﹡)中,a₁=0,當3a_n<n²時，a_n+1=n²,當3a_n>n²時，a_n+1=3a_n.求a₂，a₃，a₄，a₅,猜測數列的通項a_n并證明你的結論.

Answer 1

.

試題分析：先由遞推公式分別求出的值，猜測數列的通項，再用數學歸納法證明即可.
試題解析：當時，，則，知，因為，由數列定義知.因為,由數列定義知.又因為,由定義知
4分
由此猜測:當n≥3時，                         6分
下面用數學歸納法去證明:當n≥3時，3a_n>n².當n=3時，由前面的討論知結論成立.假設當n=k(k≥3)時，成立.則由數列定義知,從而.所以，即當n=k+1(k≥3)時，成立. 故當n≥3時，.而.因此.   11分
綜上所述，當時，，，( n≥3)              13分