Question

求下列函數的解析式：
（1）設f（x）滿足f（x）+2f（

1

x

）=x²-2，求f（x）
（2）已知f（2x+1）=x²+2x-3（1≤x≤4），求f（

1

x

）

Answer 1

分析：（1）f（x）+2f（

1

x

）=x²-2①，用

1

x

代替x得：2f（x）+f（

1

x

）=

1

x2

-2②，根據兩式可消掉f（

1

x

）得f（x）；
（2）用換元法可求得f（x），然后用

1

x

代替x可得f（

1

x

）；

解答：解：（1）f（x）+2f（

1

x

）=x²-2①，
用

1

x

代替x得：2f（x）+f（

1

x

）=

1

x2

-2②，
①-2②，得-3f（x）=x²-2-（

2

x2

-4）=x2-

2

x2

+2，
∴f（x）=-

x2

3

+

2

3x2

-

2

3

，；
（2）令t=2x+1，t∈[3，9]，x=

t-1

2

，
∴f（t）=(

t-1

2

)2+2•

t-1

2

-3=

t2

4

+

t

2

-

15

4

，
∴f（

1

x

）=

1

4x2

+

1

2x

-

15

4

（

1

9

≤x≤

1

3

）．

點評：本題考查函數解析式的求解及其常用方法，屬基礎題，熟記相關題型及其基本方法是解決問題的基礎．