Question

【題目】已知函數有兩個極值點(為自然對數的底數).

(1)求實數的取值范圍;

(2)求證:

Answer 1

【答案】(1)

(2)證明見解析

【解析】

(1)求導后得出,由題參變分離再構造函數求構造函數的單調性與取值范圍即可.

(2)利用極值點表示出與的關系,再將中的代換,構造函數再換元證明不等式即可.

(1)由,得,

由題意知函數有兩個極值點,有兩個不等的實數解.

即方程有兩個不等的實數解.

即方程有兩個不等的實數解.

設,則

在上單調遞減,上單調遞減,上單調遞增,

作出函數圖象知當時,直線與函數有兩個交點,

當且僅當時有兩個極值點,綜上所述,.

(2)因為是的兩個極值點,,

,

故要證,即證,即證,即證

不妨設,即證,即證

設,則,

易證,所以在上遞減.,

得證.綜上所述:成立,