Question

設,分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數的值.

Answer 1

（1）；（2）或； （3）滿足條件的實數的值為或.

試題分析：（1）設,的坐標分別為,其中
由題意得的方程為:
根據到直線的距離為,可求得，
將與聯立即可得到.
（2）設,，由可得，代人橢圓的方程得，即可解得或.
（3）由, 設，根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為，代入橢圓的方程,整理得:
由韋達定理得,則,
得到線段的中點坐標為.注意討論，的情況，確定的表達式，求得實數的值.
方法比較明確，運算繁瑣些；分類討論是易錯之處.
試題解析：（1）設,的坐標分別為,其中
由題意得的方程為:
因到直線的距離為,所以有,解得     2分
所以有 ①
由題意知: ,即 ②
聯立①②解得:
所求橢圓的方程為     4分
（2）由(1)知橢圓的方程為 
設,，由于,所以有
      7分
又是橢圓上的一點,則
所以
解得：或                  9分
（3）由, 設
根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達定理得,則,
所以線段的中點坐標為
(1)當時, 則有,線段垂直平分線為軸
于是
由,解得:      11分
(2) 當時, 則線段垂直平分線的方程為
因為點是線段垂直平分線的一點
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
綜上, 滿足條件的實數的值為或.       14分