Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）
（1）若f（x）在區間[2，3]上的最大值為4、最小值為1，求a，b的值；
（2）若a=1，b=1，關于x的方程f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，有3個不同的實數解，求實數k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a．

∵a＞0，f（x）的對稱軸為x=1，

可得f（x）在[2，3]上為增函數，

故f（2）=1，f（3）=4，

即1+b=1，3a+1+b=4，

解得a=1，b=0；

（2）解：由題意可得f（x）=x2﹣2x+2，

∴f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，

即為|2x﹣1|2﹣2|2x﹣1|+2+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，

即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+2（1+2k）=0，

令|2x﹣1|=t，則方程可化為t2﹣（2+3k）t+2（1+2k）=0（t≥0），

關于x的方程f（|2x﹣1|）+k（2﹣3|2x﹣1|）=0有3個不同的實數解，

結合t=|2x﹣1|的圖象（如右圖）可知，

方程t2﹣（2+3k）t+2（1+2k）=0有兩個根t1，t2，

且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，或0＜t1＜1，t2=0，

記h（t）=t2﹣（2+3k）t+2（1+2k），

則 或 或 ．

即有k∈或k=﹣ ．

解得k=﹣ ．

【解析】（1）根據f（x）的開口方向和對稱軸可知f（x）在[2，3]上是增函數，根據最值列出方程組解出a，b；（2）令|2x﹣1|=t，得到關于t的二次函數h（t），結合t=|2x﹣1|的函數圖象可判斷h（t）的零點分布情況，列出不等式組解出k的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．