Question

釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領土，如圖：點A、B、C分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點C在點A的北偏東47°方向，點B在點C的南偏西36°方向，點B在點A的南偏東79°方向，且A、B兩點的距離約為3海里．
（1）求A、C兩點間的距離；（精確到0.01）
（2）某一時刻，我國一漁船在A點處因故障拋錨發出求救信號．一艘R國艦艇正從點C正東10海里的點P處以18海里/小時的速度接近漁船，其航線為P→C→A（直線行進），而我東海某漁政船正位于點A南偏西60°方向20海里的點Q處，收到信號后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點M處，再折向點A直線航行，航速為22海里/小時．漁政船能否先于R國艦艇趕到進行救助？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，在△ABC中，由正弦定理可求A、C兩點間的距離；
（2）求出國艦艇的到達時間、漁政船的到達時間，比較可得結論．

解答：解：（1）由題意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，…（2分）
在△ABC中，由正弦定理可得

AB

sin11°

=

AC

sin115°

⇒AC≈14.25海里．      …（4分）
（2）R國艦艇的到達時間為：

14.25+10

18

≈1.35小時．…（1分）
在△AQM中，cos60°=

AQ2+MQ2-AM2

2•AQ•MQ

=

400+64-AM2

320

，
得AM≈17.44海里，…（4分）
所以漁政船的到達時間為：

17.44+8

22

≈1.16小時．…1 分
因為1.16＜1.35，所以漁政船先到．          …（1分）
答：漁政船能先于R國艦艇趕到進行救助．  …（1分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查正弦定理、余弦定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用正弦定理、余弦定理是關鍵．