已知
是
的一個極值點.
（Ⅰ） 求
的值；
（Ⅱ） 求函數
的單調遞減區間；
（Ⅲ）設
，試問過點
可作多少條直線與曲線
相切？請說明理由.
（Ⅰ）3；（Ⅱ）
；（Ⅲ）2條.
解析試題分析：（Ⅰ）先對原函數求導，則
，即得的值；（Ⅱ）求當
時的
的取值范圍，就得函數的單調減區間；（Ⅲ）易知
，設過點（2，5）與曲線
相切的切點為
，
所以
，
，令
，利用導數求函數
的單調區間及極值，可得與軸的交點個數，從而得結論.
試題解析：（I）因為
是
的一個極值點，所
，
經檢驗，適合題意，所以
. 3分
（II）定義域為
，
，
所以函數的單調遞減區間為 6分
（III），設過點（2，5）與曲線相切的切點為
所以， 9分
令
，所
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
因為
，所以與x軸有兩個交點，
所以過點可作2條直線與曲線相切. 12分
考點：1、利用導數求函數的極值和單調性；2、導數與基本函數的綜合應用.
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
－
alnx，a∈R．
（Ⅰ）當f(x)存在最小值時，求其最小值φ(a)的解析式；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的φ(a)，
（ⅰ）當a∈(0，＋∞)時，證明：φ(a)≤1；
（ⅱ）當a＞0，b＞0時，證明：φ′(
)≤
≤φ′(
)．
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的值域；
，函數
．若對任意
，總存在
，使
，求實數
的取值范圍．
.
時，討論函數
在[
上的單調性；
，
是函數
的兩個零點，
為函數
.
.
的單調區間；
在
內恒成立，求實數
的取值范圍.
，求證：
．
是定義在
上的奇函數,在
上
.
．
.
的單調性；
恒成立，證明：當
時，
.
．
時，求函數
的單調區間；
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（
，e是自然對數的底數）.
（
為常數） 
的單調區間；
時，
，求