Question

給出下列四個命題：
①當x＞0且x≠1時，有lnx+

1

lnx

≥2；
②圓x²+y²-10x+4y-5=0上任意一點M關于直線ax-y-5a-2=0對稱的點M'都在該圓上；
③若函數y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則y=f（x）為偶函數；
④若sinx+cosx=-

2

，則tanx+cotx的值為2；
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：利用對數函數的值域判斷①的正誤；直線過圓心，圓上的點關于直線對稱，判斷②正確；利用函數圖象的平移判斷③；利用三角方程求出x或基本不等式判斷④，即可得到正確答案．

解答：解：①當x＞0且x≠1時，有lnx+

1

lnx

≥2，顯然不正確，因為lnx可以小于0；
②圓x²+y²-10x+4y-5=0上任意一點M關于直線ax-y-5a-2=0對稱的點M'都在該圓上；正確，因為直線ax-y-5a-2=0
恒過圓的圓心，所以滿足題意．
③若函數y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則y=f（x）為偶函數；正確，
因為函數y=f（x-1）的圖象向左平移1單位就是函數y=f（x）．
④若sinx+cosx=-

2

，則tanx+cotx的值為2；tanx+cotx=

sinx

cosx

+

cosx

sinx

=

1

sinxcosx

=

2

1+2sinxcosx-1

=

2

(sinx+cosx)2-1

=2，正確
故答案為：②③④

點評：本題考查同角三角函數基本關系的運用，函數奇偶性的判斷，基本不等式，關于點、直線對稱的圓的方程，考查計算能力，是基礎題．