Question

【題目】設是橢圓 的四個頂點，菱形的面積與其內切圓面積分別為， .橢圓的內接的重心(三條中線的交點)為坐標原點.

(1)求橢圓的方程；

(2) 的面積是否為定值?若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（I）由內切圓面積得半徑，即為原點到直線PQ的距離，可得，又四邊形PQRS的面積為，從而可得，解得得橢圓方程；

（II）可先求特殊情形下的三角形面積，即斜率不存在時，C為橢圓的左（右）頂點，求得面積為；當斜率存在時，設方程為，代入橢圓方程，并設，由韋達定理得，利用O是的重心，得表示出C點坐標，把C點坐標代入橢圓方程求得的關系式為，由圓錐曲線中的弦長公式求得弦長，求出C點到直線AB的距離，從而得三角形ABC的面積，代入剛才的關系式可得，因此結論為存在．

試題解析：

（Ⅰ）∵菱形的面積與其內切圓面積分別為，

∴，

，

聯立解得， ，

故所求橢圓的方程為.

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，

∵為的重心，∴為橢圓的左、右頂點，不妨設，

則直線的方程為，可得， 到直線的距離，

∴．

當直線的斜率存在時，設直線方程為： ， ， ．

聯立，得，

則 ．

即，

， ，

∴．

∵為的重心，∴，

∵點在橢圓上，故有，

化簡得．

∴ ．

又點到直線的距離（是原點到距離的3倍得到）．

∴ ．

綜上可得， 的面積為定值．