Question

設a∈R，f（x）為奇函數，且f(2x)=

a•4x-a-2

4x+1

（1）試求f（x）的反函數f^-1（x）的解析式及f^-1（x）的定義域；
（2）設g(x)=log

2

1+x

k

，是否存在實數k，使得對于任意的x∈[

1

2

，

2

3

]，f^-1（x）≤g（x）恒成立，如果存在，求實數k的取值范圍．如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）為奇函數當x=0有意義，則f（0）=0，求出a，求出f（x）的解析式；將函數f（x）看出關于x的方程，求出x，將x換成y，將y換成x求出反函數，求出f（x）的值域即反函數的定義域．
（2）先利用對數函數的真數大于0求出k的范圍；利用對數函數的單調性去掉對數符號，將不等式轉化為二次不等式恒成立；轉化為函數的求最值．

解答：解：（1）因為f（x）為奇函數，且x∈R所以f（0）=0，得a=1，f(x)=

2x-1

2x+1

f-1(x)=log2

1+x

1-x

，x∈(-1，1)（6分）
（2）假設存在滿足條件的實數k．
因為x∈[

1

2

，

2

3

]，所以k＞0
由f^-1（x）≤g（x）得log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

，所以0＜

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2，
所以當x∈[

1

2

，

2

3

]時，k²≤1-x²恒成立（10分）
即k2≤(1-x2)min=

5

9

，又k＞0
所以k的取值范圍是0＜k≤

5

3

（14分）

點評：本題考查奇函數的特殊函數值f（0）=0、考查反函數的求法、利用對數函數的單調性解決對數不等式問題，解決不等式恒成立常轉化為函數的最值．