Question

（本題滿分15分）
已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：方法一：
解：（I）當垂直于軸時，顯然不符合題意，
所以可設直線的方程為，代入方程得：

∴                         ………………………………2分
得：              
∴直線的方程為                  
∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為    …………………………4分       
∴的中垂線方程為 
∵的中垂線經過點，故，得       ………………………6分
∴直線的方程為                       ………………………7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點的坐標為 …………8分
因為直線的方程為
∴到直線的距離      …………………10分
由得，

            …………………………12分
∴,  設,則，
，，由，得
即時
此時直線的方程為                         ……………15分
（本題若運用基本不等式解決，也同樣給分）
法二：
（1）根據題意設的中點為，則      ………………2分
由、兩點得中垂線的斜率為，              ………………4分
由，得                          ………………6分
∴直線的方程為                       ………………7分
（2）由（1）知直線