Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,點E是PD的中點.

（1）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值.

Answer 1

（1）證法一:因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,

    所以AB=AD=AC=a.在△PAB中，有PA²+AB²=2a²=PB².

    同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

    因為=++=2++=（+）+（+）=+.

    所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

證法二:同證法一得PA⊥平面ABCD.

    連結BD，設BD∩AC=O，則O為BD的中點.

    連結OE，因為E是PD的中點，所以PB∥OE.

    又PB平面EAC,OE平面EAC.故PB∥平面EAC.

（2）解:作EG∥PA交AD于點G，由PA⊥平面ABCD,

    知EG⊥平面ABCD，

    作GH⊥AC于點H，連結EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角.

    又E是PD的中點，從而G是AD的中點，

EG=a，AG=a,GH=AGsin60°=a.所以tanθ=.