Question

（2011•太原模擬）證明下列不等式：
（1）用分析法證明：

3

+

8

＞1+

10

；
（2）已知a，b，c是不全相等的正數，證明a²+b²+c²＞ab+bc+ca．

Answer 1

分析：（1）用分析法證明，兩邊平方，化簡即可證得；
（2）利用作差法，再配方，即可得到結論．

解答：證明：（1）要證：

3

+

8

＞1+

10

，
只需證明(

3

+

8

)2＞(1+

10

)2
即證11+2

24

＞11+2

10

只需證明

24

＞

10

即證24＞10，顯然成立
∴

3

+

8

＞1+

10

成立；
（2）a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
∵a，b，c是不全相等的正數，
∴

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]＞0
∴a²+b²+c²＞ab+bc+ca．

點評：本題考查不等式的證明，考查分析法與綜合法的運用，屬于中檔題．