Question

已知函數f（x）=x²-ax+a（a∈R） 同時滿足：①函數f（x）有且只有一個零點；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n） （n∈N^*）
（1）求f（x）和a_n；
（2）在各項均不為零的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數i的個數稱為數列{c_n}的變號數．令c_n=1-

4

an

，求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）由①函數f（x）有且只有一個零點可得△=0；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，存在大于0的單調遞減區間，即對稱軸

a

2

＞0．即可得出a的取值范圍；即可得出f（n）=S_n，再利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得出a_n．
（2）由（1）可得c_n，解出c_nc_n+1＜0即可得出數列{c_n}的變號數．

解答：解：（1）∵函數f（x）同時滿足：①函數f（x）有且只有一個零點；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
∴

△=a2-4a=0 a 2 ＞0

，解得a=4．
∴f（x）=x²-4x+4．
Sn=f(n)=n2-4n+4．
當n=1時，a₁=S₁=1-4n+4=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴an=

1，n=1 2n-5，n≥2

．
（2）①n=1時，c1=1-

4

a1

=1-4=-3，c2=1-

4

a2

=1-

4

(2×2-5)

=5，此時c₁c₂＜0，因此n=1滿足條件；
②n≥2時，c_n•c_n+1=(1-

4

an

)(1-

4

an+1

)=

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0?（2n-3）（2n-5）（2n-7）（2n-9）＜0，n∈N^*，解得n=2，4．
綜上可知：數列{c_n}的變號數是3．

點評：本題綜合考查了二次函數的零點、單調性、數列a_n與S_n的關系、新定義（變號數）、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．