Question

已知數列a_n的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-3n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數列a_n+3是等比數列；
（Ⅱ）對k∈N^*，設f(n)=

Sn-an+3n  n=2k-1  log2(an+3)  n=2k.

求使不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立的正整數m的取值范圍．．

Answer 1

分析：（I）把S_n和S_n+1相減整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判斷出數列{3+a_n}是首項為4，公比為2的等比數列即可．
（II）把（I）中的a_n代入f（n），求得其通項公式，進而對m進行奇偶數討論：①當m為偶數時②當m為奇數時結合二項式定理進行放縮，即可得出：當m∈1，3時，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．

解答：解：（I）由S_n=a&_n+1-3n-1，則S_n-1=a_n-3（n-1）-1，n≥2．
兩式相減得a_n+1=2a_n+3，n≥2．
即

an+1+3

an+3

=2，  n≥2．（2分）
又n=1時，a2=5，  

a2+3

a1+3

=2．
∴數列a_n+3是首項為4，公比為2的等比數列．（4分）
（Ⅱ）由（I）知a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，S_n=a_n+1-3n-1=2ⁿ⁺²-3n-4．
∴f(n)=

2n+1-1  n=2k-1   n+1  n=2k.

（5分）
①當m為偶數時，cos（mπ）=1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=m+1，
∴原不等式可化為（2m²+1）-（m+1）≤0，
即2m²-m≤0．
故不存在合條件的m．（7分）
②當m為奇數時，cos（mπ）=-1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=2^m+1-1．
原不等式可化為2m²+1≥2^m+1-1．
當m=1或3時，不等式成立．（9分）
當m≥5時，2^m+1-1=2（1+1）^m-1=2（C_m⁰+C_m¹+C_m²++C_m^m-2+C_m^m-1+C_m^m）-1≥2m²+2m+3＞2m²+1．
∴m≥5時，原不等式無解．（11分）
綜合得：當m∈{1，3}時，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．（12分）

點評：本題主要考查了數列的遞推式的應用，數列的通項公式和等比關系的確定．應掌握一些常用的數列與不等式的綜合的解法．