Question

（本小題滿分14分）
已知實系數一元二次方程x²+px+q=0的兩根分別為x₁，x₂。
（1）若上述方程的一個根x₁=4-i（i為虛數單位），求實數p，q的值；
（2）若方程的兩根滿足|x₁|+|x₂|=2，求實數p的取值范圍。

Answer 1

解：（1）根據“實系數方程虛根共軛成對出現”，知x₂=4+i，                          ……2分
根據韋達定理，知p=-(x₁+x₂)=-8；q=x₁·x₂=17。                                                      ……2分
（2）①當△=p²-4q<0時，方程的兩根為虛數，且，
∴|x₁|=|x₂|=1，∴q=1。∴p=-(x₁+x₂)=-2Re(x₁)∈[-2，2]，
又根據△=p²-4q<0，∴p∈(-2，2)。                                                                            ……3分
②（法一）當△=p²-4q≥0時，方程的兩根為實數，
（2-1）當q>0時，方程的兩根同號，∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）當q=0時，方程的一根為0，∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）當q<0時，方程的兩根異號，∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2，
∴4=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=p²-4q，∴p²=4+4q∈[0，4)，∴p∈(-2，2)
∴當△≥0時，p∈[-2，2]。                                                                        ……3分
綜上，p的取值范圍是[-2，2]。
（法二）當△=p²-4q≥0時，方程的兩根為實數，
∴|p|=|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|=2，當x₁與x₂同號或有一個為0時等號取到。特別的，取x₁=2，x₂=0時p=-2；取x₁=-2，x₂=0時p=2。
∴p∈[-2，2]。                                                                                                                      ……3分
綜上，p的取值范圍是[-2，2]

略