Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2 的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C，D分別為長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P，判斷

OM

•

OP

是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2 的正方形，可得a=2，b=c，再利用a²=b²+c²即可解出b，c；
（2）判斷

OM

•

OP

是定值4．設(shè)M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．則直線CM的方程為：y=

m

4

(x+2)，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)用m表示，再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出

OM

•

OP

是定值．

解答：解：（1）∵四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2 的正方形，∴a=2，b=c，
∵a²=b²+c²，∴b=c=

2

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）判斷

OM

•

OP

是定值4．下面給出證明：
設(shè)M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．
則直線CM的方程為：y=

m

4

(x+2)，聯(lián)立

y= m 4 (x+2) x2 4 + y2 2 =1

，
化為（8+m²）x²+4m²x+4m²-32=0，
∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=16m⁴-4（8+m²）（4m²-32）＞0，化為1＞0．
∴-2×s=

4m2-32

8+m2

，解得s=

16-2m2

8+m2

．
∴t=

8m

8+m2

．∴M(

16-2m2

8+m2

，

8m

8+m2

)．
∴

OM

•

OP

=(2，m)•(

16-2m2

8+m2

，

8m

8+m2

)=

32-4m2

8+m2

+

8m2

8+m2

=4為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．