Question

設面積為S的平面四邊形的第i條邊的邊長為a_i（i=1，2，3，4），P是該四邊形內一點，點P到第i條邊的距離記為hi，若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，則h1+2h2+3h3+4h4=

2S

k

，類比上述結論，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），Q是該三棱錐內的一點，點Q到第i個面的距離記為d_i，若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=k，則d1+2d2+3d3+4d4等于

 

．

Answer 1

分析：由

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k可得a_i=ik，P是該四邊形內任意一點，將P與四邊形的四個定點連接，得四個小三角形，四個小三角形面積之和為四邊形面積，即采用分割法求面積；同理對三棱值得體積可分割為5個已知底面積和高的小棱錐求體積．

解答：解：根據三棱錐的體積公式 V=

1

3

Sh
得：

1

3

S1H1+

1

3

S2H2+

1

3

S3H3+

1

3

S4H4=V，
即S₁H₁+2S₂H₂+3S₃H₃+4S₄H₄=3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=

3V

K

，
即

4

i=1

(iHi)=

3V

K

．
故答案為：

3V

k

．

點評：本題主要考查三棱錐的體積計算和運用類比思想進行推理的能力．解題的關鍵是理解類比推理的意義，掌握類比推理的方法．平面幾何的許多結論，可以通過類比的方法，得到立體幾何中相應的結論；平面向量中的有關結論，可以通過類比的方法，得到空間向量中的類似的結論；等差數列中的有關性質，可以通過類比的方法，得到等比數列中的相應性質；橢圓中的一些命題，可以通過類比的方法，得到雙曲線中的類似命題；當然，類比得到的結論是否正確，則是需要通過證明才能加以肯定的．