Question

【題目】(2017·全國Ⅱ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點.

(1)證明：直線CE∥平面PAB；

(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】試題分析:(1) 取PA的中點F，根據(jù)平幾知識得四邊形BCEF是平行四邊形，即得CE∥BF ，再根據(jù)線面平行判定定理證結(jié)論，(2) 先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)方程組各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系求二面角M-AB-D的余弦值.

試題解析: (1)證明　取PA的中點F，連接EF，BF，

因為E是PD的中點，所以EF∥AD，EF＝AD.

由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，

又BC＝AD，所以EF綉BC，

四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF，

又BF平面PAB，

CE平面PAB，

故CE∥平面PAB.

(2)解　由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A－xyz，則

A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，

＝(1，0，－)，＝(1，0，0).

設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則

＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－).

因為BM與底面ABCD所成的角為45°，

而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，

所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，

＝，

即(x－1)2＋y2－z2＝0.①

又M在棱PC上，設(shè)＝λ(0＜λ≤1)，則

x＝λ，y＝1，z＝－λ.②

由①，②解得 (舍去)，

所以M，從而＝.

設(shè)m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則

即

所以可取m＝(0，－，2).

于是cos〈m，n〉＝＝.

因此二面角M－AB－D的余弦值為.