Question

已知拋物線C：y²=mx（m≠0）的準線與直線l：kx-y+2k=0（k≠0）的交點M在x軸上，l與C交于不同的兩點A、B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N（p，0）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求實數p的取值范圍；
（3）若C的焦點和準線為橢圓Q的一個焦點和一條準線，試求Q的短軸的端點的軌跡方程．

Answer 1

解（1）因為點M在x軸上，令y=0代入l：kx-y+2k=0（k≠0），解得x=-2，
所以M（-2，0），所以拋物線C：y²=mx（m≠0）的準線為x=-2=-，所以m=8
所以拋物線C的方程為y²=8x．
（2）由-8y+16k=0（k≠0）△=64（1-k²）＞0∴0＜k²＜1
∴，
∴AB的中垂線方程為y-得p=x=4++2∵
0＜k²＜1∴p∈（6，+∞）
（3）∵拋物線焦點F（2，0），準線x=-2
∴x=-2是Q的左準線
設Q的中心為O′（x，0），則短軸端點為（x，±y）
（i）若F為左焦點，則c=x-2＞0，b=|y|
∴a²=b²+c²=（x-2）²+y²
依左準線方程有x-=-2∴x-=-2即y²=4（x-2）（x＞2）
（ii）若F為右焦點，則0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|
∴a²=b²+c²=（2-x）²+y²依左準線方程有x-=-2
即∴x-=-2化簡得2x²-4x+y²=0
即2（x-1）²+y²=2（0＜x＜2，y≠0）
分析：（1）先求出M點坐標，然后根據準線x=-2=-，求出m的值，進而求得拋物線方程；
（2）聯立拋物線和直線方程，由△＞0，求k²的范圍，進而求出AB的中垂線方程，令y=0，求得關于p的關系式，從而求出范圍．
（3）首先求出焦點和準線方程，分兩種情況（i）若F為左焦點，則c=x-2＞0，然后根據準線方程和a²=b²+c²，求出結果．
（ii）若F為右焦點，則0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|，然后根據準線方程和a²=b²+c²，求出結果．
點評：本題考查了拋物線標準方程和直線和圓錐曲線的綜合，綜合性強，（3）要注意分兩種情況，進行作答，屬于中檔題．