Question

已知動⊙M經過點D（-2，0），且與圓C：x²+y²-4x=0外切．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）記半徑最小的圓為⊙M₀，直線l與⊙M₀相交于A，B兩點，且⊙M₀上存在點P，使得

M0P

=

M0A

+

M0B

=(λ+1，3λ)（λ≠0）
①求⊙M₀的方程；
②求直線l的方程及相應的點P坐標．

Answer 1

分析：（1）利用兩圓相外切的條件，結合雙曲線的定義，求出雙曲線的方程．
（2）①MD的最小值為c-a=1，且M（-1，0）寫出方程．
②先求出點P坐標表達式，代入⊙M方程，求出點P的坐標，判斷M₀APB是菱形，求出AB斜率，及M₀P的中點，點斜式寫出直線l的方程．

解答：解：（1）圓C半徑R=2，圓心C（2，0），（1分）由題意可得，MC=MD+2，MC-MD=2＜CD=4，（3分）
∴點M的軌跡是以C，D為焦點的雙曲線的左支，其中2a=2，2c=4，∴a=1，c=2，∴b²=3．（5分）
∴點M的軌跡方程為 x2-

y2

3

=1(x＜0)．（6分）
（2）①∵MD的最小值為c-a=1，且M（-1，0），∴⊙M₀的方程為（x+1）²+y²=1．（8分）
②由

M0P

=(λ+1 ， 3λ)，把點P（λ，3λ）代入⊙M：（x+1）²+y²=1，
解得λ=0(舍)，-

1

5

，（10分）∴P(-

1

5

 ，  -

3

5

)，且kM0P=-

3

4

．（12分）
∵

OP

=

OA

+

OB

，且|

OP

|=|

OA

|=|

OB

|=r，∴M₀APB是菱形． （13分）
∴

OP

⊥

AB

，∴kAB=-

1

kM0P

=

4

3

．
又M₀P的中點為(-

6

10

，-

3

10

)，∴直線l：  y+

3

10

=

4

3

(x+

6

10

)，
即 4x-3y+

3

2

=0．（15分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓位置關系的綜合應用，屬于中檔題．