Question

(本小題滿分12分) 如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一點(diǎn)．
（1）證明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若，∠ABC=30°，求二面角A—PB—C的大小．

Answer 1

（1）平面PAC⊥平面PBC
（2）二面角A—PB—C的大小為60°

（1）證明：∵PA垂直于⊙O所在的平面，BC在該平面內(nèi)，所以PA⊥BC。
∵C是圓周上不同于A，B的一點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。
又因?yàn)镻A與AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BC⊥平面PAC。
又困為BC在平面PBC內(nèi)，所以平面PAC⊥平面PBC    …………………5分
（2）作AD⊥PB于D點(diǎn)，AE⊥PC于E點(diǎn)，連DE。
由（1）知平面PAC⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC
而PB在平面PBC內(nèi)，所以AE⊥PB
即有PB⊥AD（所作）PB⊥AE，又AE與AD是平面ADE內(nèi)的兩條相交直線，
所以PB⊥平面ADE，所以∠ADE是二面角A—PB—C的平面角。…………………………9分
設(shè)AB=2r，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以AC=r
由條件知PA=
在Rt△PAC中，AE=
在Rt△PAB中，AD=
在Rt△AED中，sin∠ADE=，所以∠ADE=60°
故二面角A—PB—C的大小為60°………………………………………12分